A.1 Autologistics

Source: #

Ising 에 추가적인 조건을 덧붙인 결과물.

2차원 lattice 를 가정. 이때 이 lattice 의 각 node 의 쌍 \((i,j)\) 는 이에 엮인 랜덤 변수 \(X_{i,j}\) 를 가짐.

이때 가장 가까이 위치하고 있는 최단거리 이웃 둘 사이의 관계를 서술하기 위해, 즉 상응하는 2개의 actor 사이의 상호작용에 해당하는 랜덤변수 \(X_{i,j}\) 를 서술하기 위해 사용될 수 있는 조건부 확률의 형태는 이하와 같다.

이때 변수들 \(X_{i,j}\) 들 사이의 상호관계를 서술하기 위해 적용될 수 있는 nearest-neighbor model 들 중 하나의 개념은 이하와 같이 조건부 확률의 형으로 제시된다.

\[ P(x_{i,j} | \text{all other values}) \equiv P(x_{i,j} | x_{i-1, j}, x_{i+1, j}, x_{i, j-1}, x_{i, j+1}) \]

위의 식이 직관적인 표현을 제시하긴 하지만 여기에도 단점은 있음. 예를 들어 lattice 의 joint probability distribution 을 평가할 방법이 없으며, 또 이런 조건부 확률로 표현하는 함수의 형은 severe consistency condition 에 강하게 의존함.

model 이 spatially homogenous 라고 가정하고 binary 데이터를 사용한다고 가정하자. 그러면 이하과 같이 식을 작성할 수 있다.

\[ \exists \alpha, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb R: p(x_{i,j}|x_{i-1,j},x_{i+1,j},x_{i,j-1},x_{i,j+1}) \\ = \frac{\exp \Bigg\{x \bigg[ \alpha+\beta_{1}(x_{i-1,j}+x_{i+1,j})+\beta_{2}(x_{i,j-1}+x_{i,j+1})\bigg]\Bigg\}} {1+\exp\Bigg\{\alpha+\beta_{1}(x_{i-1,j}+x_{i+1,j})+\beta_{2}(x_{i,j-1}+x_{i,j+1})\Bigg\}} \]

위의 모델과 logistic regression model 간에 어느정도 유사점을 발견할 수 있을 것. 때문에 위의 모델을 auto-logistic model 이라고 명명하였다.

boundary of zeros \(\mathbf x_B = 0\) 이 lattice 의 inner array \(\mathbf x_I\) 를 둘러싸고 있다고 한다면 이하가 성립한다. 이때 모든 \((i,j)\in I\) 에 대한 summation 과 \(C(\alpha, \beta_1, \beta_2)\) 는 normalizing function. 이의 실값 자체는 array 의 dimension 에 의존하여 정해짐.

\[ P\{{\bf x_{i}}|{\bf x_{B}}=0\}=\frac{\exp \Bigg \{\sum \Big (\alpha+\beta_{1}x_{i-1,j}+\beta_{2}x_{i,j-1} \Big )x_{i,j} \Bigg \}}{C(\alpha,\beta_{1,}\beta_{2})} \]

위의 결과는 closed boundary 만 가지고 있다면 그 closed boundary 가 뭔 형태든 성립함. 위의 결과를 가지면 문서의 가장 위에서 제시했던 조건부 확률의 식의 형과 일치하는 결과를 얻을 수 있지만, 이 시점까지도 아직 lattice 의 joint probability distribution 을 직접적으로 얻을 수는 없다는 점을 또 notice.