3.2 Hypothesis Test

통계적 가설 | Statistical Hypothesis | 관심있는 population의 성질에 대한 단정이나 추측 등의 표현 (statement)
이러한 가설은 흔히 모집단의 성질을 나타내는 rv의 분포에 대한 표현으로 나타난다. |
단순가설 | Simple Hypothesis | 어떤 가설이 확률분포 (pd) 를 완전히 결정한다 |
복합가설 | Composite Hypothesis | 그렇지 않다 |

다양한 검정법에서 우선순위를 정하는 것은 옳은 결론을 내리는 빈도가 높은, 즉 잘못된 결정을 내릴 확률이 낮은 검정법이 좋은 검정법이라는 것.

검정통계량(Test Statistics): 주어진 rs에 근거하여 통계적 가설에 대한 증거를 살펴볼 때 사용되는 통계량

기각영역(Rejection Region, Critical Region): \(H_0\)를 기각하게 되는 검정통계량의 값을 가지는 sample space의 부분집합 (event)

| \(H_0\) True | \(H_0\) False |
reject \(H_0\) | | Type 2 Error (\(\beta\))
유죄인데 석방 |
accept \(H_0\) | Type 1 Error (\(\alpha\))
무죄인데 사형 | |

제1종 오류를 범활 확률 \(\alpha\)는 유의확률(Significance Level) 라고 따로 칭함. \(H_1\)은 기존으로부터의 변화이므로 채택에 있어 훨씬 엄격해야 함. 따라서 \(\alpha\)가 \(\beta\)보다 훨씬 더 중시됨.

let Rejection Region \(C\). then

$$ \[\begin{alignat*}{2} \alpha &= P(\text{Type 1 Error}) \\ &= P(\text{accept }H_1 \vert H_0) \\ &= P(\pmb X_n \in C \vert H_0) \begin{aligned}[t] & = \int_C f(\pmb x \vert H_0) d \pmb x\\ &= \sum_C f(\pmb x \vert H_0) \end{aligned} \end{alignat*}\] $$

This can also be written as Loss Function.

$$ \[\begin{align*} L(H_i ; H_j ) = \begin{cases} 0, & \text{if } i = j \\ 1, & \text{for } i \not = j, \; \; (i,j = 0, 1) \end{cases} \end{align*}\] $$

$$ \[\begin{align*} E \left [ L(H_1 ; H_0 ) \right] &= P(\text{Type 1 Error}) \\ E \left [ L(H_0 ; H_1 ) \right] &= P(\text{Type 2 Error}) \end{align*}\] $$

hi