3.3 Power Fucntion

여기서, \(H_0\)에 대한 기각영역이 \(C\)인 test의 검정력함수 (power function)은 이하와 같다. 즉, 이는 \(H_0\)를 기각하는 확률로 정의된다.

\[ \pi(\theta) = P (\pmb X_n \in C \vert \theta) \]

이는 패러미터 \(\theta\)의 참값이 무엇이냐에 따라 다른 값을 가지므로 \(\theta\)의 함수이다.

주어진 \(\theta\)에서의 power function의 값 \(\pi(\theta)\)은 이 \(\theta\)에서의 검정력 (power).

power는 \(H_0\)를 기각할 확률. * if \(\theta \in H_0\), power는 작을수록 좋다. * \(\theta = \theta_0 \in H_1\), 이 경우 power \(\pi(\theta) = \pi(\theta_0) = \alpha\). * if \(\theta \in H_1\), power는 클수록 좋다. * \(\theta \in H_1\), and \(H_1\)이 simple hypothesis, 이 경우 power \(\pi(\theta) = 1- \beta\).

이와 같이 power function은, 마치 MSE가 점추정의 기준이 되었던 것처럼, \(\alpha\) (유의수준)이 고정되었을 때 test 방법의 성능을 결정하는 기준이 된다.

3.3.1 Significance Probability (p-value)

앞에서 언급했던 것과 같이, 좋은 검정법을 찾기 위해 sample space를 \(C\)와 채택영역 \(C^c\)로 나누고 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 계산하여 오류의 확률을 작게 만드는 검정법을 고르게 된다. 사용할 검정법을 결정하고 나면, 자료에서 관측된 값이 \(C\)에 속할 경우 \(H_0\)를 기각하고, 이외에는 \(H_0\)를 기각하지 않는다고 결론을 내리게 된다. 그런데 관찰된 test stat의 값이 \(C\)에 속한다 하더라도 값의 크기 등에 따라 통계적 유의성에 대한 의미가 다를 수 있다. 따라서 기각할 것인지, 하지 않을 것인지 이분법적인 결론만을 제시하기보다, 관측한 자료가 \(H_0\)에 대하여 어느 정도의 반증이 되는지를 수치적으로 나타낼 수 있는 \(\alpha\) (유의확률)을 이용하여 test의 결론에 이르는 경우가 많이 있다.

p값 (p-value), 즉 관측된 유의수준 (observed significance level), 혹은 유의확률 (Significance Probability), 는 \(H_0\)가 참이라는 가정 하에, 우리가 관측한 값과 같거나 더 극단적인 값을 얻을 확률 (ex. \(P(T \ge t \vert H_0 )\)) 로 정의된다. 여기서 더 극단적이라는 것은, 관측한 값보다 \(H_1\)에 더 가까운 것을 의미한다. 만약 어떤 관측값에 대하여 p값을 계산하였더니 아주 작은 값이 나왔다면, 우리가 관측한 값 자체가 이미 매우 극단적이라서 이보다 더 강한 \(H_1\)에 대한 증거를 관측할 확률이 작다는 것이다. 즉, 관측값이 \(H_0\) 하에서 나오기 어려운 값이라는 뜻이므로 \(H_0\)를 기각할 근거가 된다고 할 수 있다. 만약 어떤 관측값에 대하여 p값을 계산하였더니 작지 않은 값이 나왔다면, 우리가 관측한 값이 \(H_0\) 하에서 흔히 나올 수 있는 값이라는 것이고, 즉 \(H_0\)를 기각할 근거가 되지 않는다고 할 수 있다.

p값이 \(H_0\)를 기각할만큼 작은지를 결정하는 것은 보통 결과를 해석하는 사람에게 달려있다. 그러나 가설검정을 할 때는 흔히 적당한 유의수준 \(\alpha\)의 값을 생각하고 있기 마련이므로, p값이 \(\alpha\)보다 작으면 관측된 자료가 대립 가설에 대한 충분한 증거가 된다고 판단하여 \(H_0\)를 기각하게 된다. 정리하자면, p값은 \(H_0\) 하에서 test stat의 관찰값 (test stats) 이 \(H_0\)를 기각하는 방향으로 나타나는 확률을 의미한다. 주어진 유의수준 \(\alpha\)보다 p값이 작으면 \(H_0\)를 기각하며, 그렇지 않은 경우에는 \(H_0\)를 받아들이게 된다.