3.4 Optimal Testing Method

항상 옳은 결과를 가져다주는 검정법을 사용할 수 있다면 가장 좋겠지만, 샘플에서 주어지는 정보만을 가지고 모집단의 특성에 대한 결론을 내려야 하는 상황에서 언제나 옳은 결과를 가져다주는 test 방법을 찾을 수는 없다. 그렇기에 이 장의 목표는 옳은 결과를 가져다주는 빈도가 높은 test 방법을 찾는 것이 된다. 잘못된 결론을 내릴 확률은 두 가지 오류로 표현되므로, 제 1종 오류와 제 2종 오류의 발생확률을 낮게 하는 test 방법을 찾아야 한다. 불행히도, 샘플의 크게가 정해져 있는 경우 둘 다를 최소로 하는 test 방법을 찾는 거은 불가능하다. 예를 들면, $\alpha$를 최소로 하는 가장 간단한 방법은 언제나 $H_0$를 채택하는 것이지만 ($\alpha = 0$), 이는 $H_1$에서의 power를 0으로 최소화시키고, 즉, $\beta$를 극대화시킨다.

let $\pmb X_{25} \overset {\text{iid}} {\sim} N(\mu, 10^2 )$.

\[ H_0 : \mu = 100, \; \; \; \; \; H_1 : \mu > 100 \]

이때. $\mu=100$에서의 power는 유의수준 $\alpha$와 같고, $\mu>100$일 경우에는 $\pi(\mu) = 1-\beta(\mu)$. 이인즉

$$ \[\begin{align*} \lim_{\mu \downarrow 100} \beta(\mu) &= 1- \pi(100) \\ &= 1- \alpha \end{align*}\] $$

따라서 $H_0$와 $H_1$의 경계점에서 $\alpha + \beta = 1$이 된다. 즉, 샘플의 크기가 일정할 때 $\alpha$를 줄이고자 하면 경계점에서 $\beta$의 값이 커지며, 이 역 또한 성립한다. 이를 power로 표현하면, $H_0$ 하에서 power는 큰 것이 바람직하나 power $\pi (\mu)$를 늘이고자 하면 $\alpha$의 값이 같이 커지게 되므로 제1종 오류의 확률 ($\alpha$)의 확률을 최소화하면서 power를 최대화하는 일은 sample의 크기가 정해져 있는 경우 불가능하다.

만약 sample의 크기를 늘인다면, $\alpha$의 값을 고정시킨 상태에서 주어진 $H_1$ 하에서의 $\mu$ 값에서의 power를 크게 할 수 있다.

이 절에서는 power function $\pi(\cdot)$을 기준으로 하는 Optimal Testing Method (최량검정법)에 대해 살펴볼 것이다. 우선, $H_0$와 $H_1$이 모두 simple인 경우를 생각해보자. 위에서 이야기하였듯 $\alpha$를 최소화하면서 $H_0$ 하에서의 power를 최대화하는 것은 불가능하므로, 이에 대한 합리적 대안으로 $\alpha$ (제1종 오류를 범할 확률)을 주어진 작은 값으로 제한한 상태에서, power를 최대화하는 의미에서의 OTM을 다음과 같이 정의한다.

H_0: = _0, ; ; ; ; ; H_1: = _1

에 대한 rejection region $C^\ast$ 가 다음 조건을 만족할 때 이를 유의수준 $\alpha$ 에서의 MPT의 RR, 또는 MPRR이라고 한다.

$\pi^\ast$가 $C^\ast$에 해당하는 power function이라 하면, 1. $\pi^\ast (\theta_0) = \alpha$, 2. $\forall \text{ RR } C, \; \text{whose 유의수준과 power function } \alpha, \pi: \pi^\ast(\theta_1) \ge \pi(\theta_1)$.