9.3 Counting Processes and Martingales

1샘플 estimator 를 위해 counting process 사용했었음. 이에서 N-A estimator 의 asymptotic 성질을 확인했고. 하지만 아직 $n^{\frac 12} \{ \hat \Lambda(t) - \Lambda(t)\}$ 의 limiting distribution 을 획득하진 않았고. $\hat \Lambda(t)$ 의 성질을 얻는데 있어서는 conditioning 이 핵심. 모든 이론적 기반은 이 conditioning 에 있음. Martingales 포함. Martingale Central Limit Theorem (MCLT) 은 자동적으로 Normal 로의 convergence 가 보장되는 마일드한 condition 이하에서 성립되었음.

Definition 9.1 (Probability space) 모든 가능한 결과의 abstract space Ω, σ-algebra $\mathcal F$, set function (measure) $P$ 가 주어졌을 때 확률공간 (Probability space) $(Ω, \mathcal F, P)$ 가 성립.

$\mathcal A$ 가 $\Omega$ 로부터의 결과값의 subset 의 collection 이라고 하자. - 이하를 만족하면 $\mathcal A$ 는 algebra. 1. $E \in \mathcal A$ 이 complement $\bar E \in \mathcal A$ 를 보장 2. $E_1 \in \mathcal A$ 이며 $E_2 \in \mathcal A$ 인 것이 $E_1 \cup E_2 \in \mathcal A$ 를 보장 - 이하를 만족하면 $\mathcal A$ 는 $\sigma$-algebra. 1. $E \in \mathcal A$ 이 complement $\bar E \in \mathcal A$ 를 보장 2. $\forall j=1,2,\cdots:E_j \in \mathcal A$ 가 $E_1 \cup E_2 \cdots \in \mathcal A$ 를 보장

즉 $\sigma$-algebra 는 countable union 과 intersection 에 closed 인 collection of events.

Definition 9.2 (Stochastic Process) 랜덤변수의 collection $X=\{X(t) ; t \in \mathcal T\}$¹³ 가 같은 확률공간 안에서 정의되어 있을때 이는 Stochastic Process.

e.g., 주어진 확률공간 $(Ω, \mathcal F, P)$ 과 measurable space $(S, \Sigma)$ 에서, $S$-valued 랜덤변수들의 collection 을 stochastic process 라고 하며, 이는 $X=\{X(t) ; t \in \mathcal T\}$.

이때 $S$ 는 mathematical space 이며 이건 $\sigma$-algebra 에 비추어 measurable 해야함.

Stochastic Process 의 실현값 을 Path 라고 부른다. 여기 path 에 이하의 조건이 더해진다면 이는 추가로 counting process¹⁴.

non-decreasing
piece-wise constant
cadlag
step-function with increments of size 1

Definition 9.3 (Filtration) $\sigma$-algebra 들의 increasing family, e.g., $\{\mathcal F_t : t \ge 0\}$

increasing Filtration 이라는 것은 $s\get: \mathcal F_s \subset \mathcal F_t$, e.g., $A \in \mathcal F_s \Longrightarrow A \in \mathcal F_t$.

$\forall t: X(t)$ 가 $\mathcal F_t$-measurable 일 경우, stochastic process $X$ 는 adapted to $\mathcal F_t$. 특히, 변량에 대해 유의미한 probability statement 가 서술될 수 있다면 이 변량은 measurable.

$X(t)$ 가 $\mathcal F_t$ 에 adapted $\iff$ $E \Big [X(t) \Bigg | \mathcal F_t \Big] = X(t)$.

모든 process 는 그 자신의 역사 (과거 실현값) 에 adapted. SA 에서는 $\mathcal F_t$ = own history, e.g., $\mathcal F_t = \sigma \{X(s); 0 \le s\ le t\}$ 로 두는 것이 편리하고 쓸만함. 이때 $\mathcal F_t$ 는 $(0, t]$ 에 걸친 $X$ 의 실현값, 즉 $X$ 에 의해 생산된 모든 데이터를 담고 있음. 일례로 $\mathcal F_t$ 는 선풍기들이 돌기 시작한 시점부터 선풍기 전부를 관찰하고 있던 관찰자의 뇌속 기억. 언제 고장났는지 혹은 censoring 당했는지 다 암.

자주 쓰이는 filtration 은 $\mathcal F_t = \sigma \{ N_i (s) , Y_i (s+) \; ; \; s\in (0,t], i=1, \cdots, n\}$.

9.3.1 Conditional Expectation

랜덤변수 $X$ 가 $\mathcal F$-measurable 이며 $\mathcal G \subset \mathcal F$ 이라면:

\[ \begin{align} E(X|\mathcal F) &= X \\ E(aX|\mathcal F) &= aX \\ E(XY|\mathcal F) &= X \cdot E(Y|\mathcal F) \\ E(X | \mathcal G) &= \mathcal G \text{-measurable} \\ \forall \text{ events } B \in \mathcal G : E \Big[X \cdot I(B) \Big] &= E \Big[E(X|\mathcal G) \cdot I(B) \Big] \end{align} \]

이하의 조건이 만족된다면 Stochastic Process 는 tag 안의 property 가 성립.

\[ \sup\limits_{t\in T}E[|X(t)|]\lt \infty\ \tag{integrable} \\ \sup\limits_{t\in{\mathcal{T}}}E[X(t)^{2}]\lt \infty \tag{square integrable} \\ P\left\{\operatorname*{sup}_{t\in T}|X(t)|\lt c\right\}=1 \tag{uniformly bounded} \]

counting process $N(t)$, filtration $\mathcal F_t$ 가 있을때, 이에 엮인 intensity process $A(t)$ 는 다음과 같다.

set $A(t)=\int_0^t dA(s)$. where

$$ \[\begin{alignat}{2} d A(t) &= E[d N(t)]\mathcal{F}_{t^{-}}] && && =Y(t)\lambda(t)d t \\ &=\lim\limits_{d t\uparrow0}E[N(t^{-}+d t)-N(t^{-}) &&| {\mathcal{F}}_{t^{-}}] \tag{1} \\ &=\lim\limits_{d\uparrow 0}\{N(t^{-}+d t)-N(t^{-})=1 &&\vert{\mathcal F}_{t^{-}}\} \tag{2} \end{alignat}\] $$

$\mathcal F_{t^-}$ 는 (0, t) 에 대한 정보 보유.
$[t, t+dt)$ 에서 event 발생이 1번을 초과할 가능성은 negligable 하다고 set. 즉, $\lim\limits_{d t\downarrow0}P\{N(t^{-}+d t)-N(t^{-})\gt 1|\mathcal{F}_{t^{-}}\}\;=\;\ o(d t^{2})$.

9.3.2 Martingale

Definition 9.4 (Martingale) 이하의 조건을 만족할 때, right-continuous 인 stochastic process $X=\{X(t):t \ge 0\}$ 는 filtration $\{\mathcal F_t : t \ge 0\}$ 에 대해 martingale.

X 가 $\mathcal F_t$ 에 대해 adapted.
$\forall t < \infty : E[ \Big | X(t) \Big | ] < \infty$
$\forall t, s \ge 0: E[ X(t+s) | \mathcal F_t] = X(t)$ 3-(1). $\forall t, s \ge 0: E[ X(t+s) | \mathcal F_t] \ge X(t)$, sub-martingale 3-(2). $\forall t, s \ge 0: E[ X(t+s) | \mathcal F_t] \le X(t)$, super-martingale

martingale 은 pure random noice process. 즉슨 history 가 주어졌을 때 조건부 평균이 0이며, conditional centered process 이고, $t$ 에 걸쳐 mean 중심으로 랜덤하게 fluctuate. random walk, 페어 갬블링 등이 예시가 됨.

$X$ 의 matringale increment $dX(t)=X(t^- + dt) - X(t^-)$ 를 정의. 앞의 성질을 통해 $E[dX(t)|\mathcal F_{t^-}] = 0$ 임이 보장되었다. 이제 $\mathcal F_t$ martingale 인 $X$ 가 uncorrelated increment 를 가지고 있음을 보일 것.¹⁵

$$ \[\begin{align} s\lt t,\;E[X(s)\{X(t)-X(s)\}] &= E\, \Big [E[X(s)\{X(t)-X(s)\}|\mathcal{F}_{s} \Big ] \\ &= E\, \Big [X(s) \cdot E[\{X(t)-X(s)\}|\mathcal{F}_{s} \Big ] \\ &= {{E \Big [ X(s)\cdot \Big \{E[X(t)|\mathcal{F}_{s}]-E[X(s)|\mathcal{F}_{s}] \Big \} \Big ]}} &&= 0 \end{align}\] $$

univariate survival 에 자주 사용되는 counting process 는 $N(t) = I(X \le t , \Delta = 1)$. 이제 이하로 설정해보자.

$$ \[\begin{align} M(t) &= N(t) - A(t) \\ A(t) &= \int_0^t dA(s) \\ dA(t) &= Y(t)\lambda(t) dt \\ &=E[dN(t) | \mathcal F_{t^-}] \end{align}\] $$

이제 intentisy process 의 integration 인 $A(t)$ 을 $N(t)$ 의 compensator 라고 명명한다. 이는 process 를 centerin, 즉 중앙쪽으로 보정한다는 의미.

9.3.2.1 Centering Increments

$A(t)$ 가 실제로 $N(t)$ 의 compensator 임을 보이자. failure time 이 indenpendent (right) censoring 에 유관함을 suppose. 그렇다면 pertinent counting process 는 $N(t)$ 로 설정되며, filtration $\mathcal F_{t} = \sigma \{N_i(s) , Y_i (s+); i = 1, \cdots, n;s \in (0, t]\}$ 가 된다. 이때 compensator increment 는 이하로 주어진다.

$$ \[\begin{alignat}{2} E[d N_{i}(t)]{\mathcal{F}}_{t^{-}}]&=&& P[d N_{i}(t)=1&&|{\mathcal{F}}_{t^{-}}] \\ &=&&P[d N_{i}(t)=1&&|Y(t)] \\ &=Y_{i}(t) \cdot &&P[t\leq T_{i}\lt t+d t&&|t\leq T_{i},t\leq C_{i}] \\ &=Y_{i}(t) \cdot &&P[t\leq T_{i}\lt t+d t&&|t\leq T_{i}] \\ &=Y_{i}(t) \cdot &&d A(t) \end{alignat}\] $$

이때, $M=N-A$ 가 성립하는가? 다른 말로, $\operatorname{E}[N_{i}(t)]=\operatorname{E}[A(t)]$ 인가?

이제 Predictable 에 대해 생각해보자. Predictable Process 란 무엇인가? $H(t)$ 의 값이 $\mathcal F_{t^-}$ 의 함수, 혹은 특정된다면, stochastic process $H$ 는 $\forall t:$ 의 filtration $\mathcal F_t$ 에 대해 predictable. 이는 곧 $H$ $t$ 시점의 값이 $t-$ 까지의 정보로 인해 고정된다면, 즉 $H$ 의 행위가 $[0,t)$ 까지 해왔던 행위로 인해 고정된다는 것과 동일. predictable 의 성질은 이하와 같다. - left-continuous process 는 predictable (e.g., $Y(t)$) - 모든 deterministic function 은 predictable (e.g., $S(t), (t)) - $E[H(t) | \mathcal F_{t^-} = H(t)]$

Definition 9.5 (Stochastic Integral) $M$ 이 $\mathcal F$-matringale 이라고 가정. 이때 process $Z(t)~=~\int_{0}^{t}H(s)d M(s)$ 는 $M(t)$ 에 대한 Stochastic Integral.

Theorem 9.1 이하의 조건이 만족될 때, $M(t)$ 에 대한 Stochastic Integral $Z(t)~=~\int_{0}^{t}H(s)d M(s)$ 는 $\mathcal F$ matringale.

$H$ 가 filtration $\mathcal F$ 에 대해 predictable
$M$ 이 $\mathcal F$ matringale

증명을 위해서는 궁극적으로 $E[Z(t)-Z(s)|{\mathcal{F}}_{s}]=0$ 임을 보여야 한다.

$$ \[\begin{align} E[Z(s)|\mathcal{F}_{s}]\;\;&=\;\;E\left[\int_{0}^{s}H(u)d M(u)|\mathcal{F}_{s}\right] \\ &=\ \int_{0}^{s}E[H(u)d M(u) \Bigg |\mathcal{F}_{s}] \\ &=\ \int_{0}^{s}H(u)d M(u) &&= Z(s) \\ \\ E[Z(t)|{\mathcal{F}}_{s}]~&=~E\left[\int_{0}^{t}H(u)d M(u)\Bigg|{\mathcal{F}}_{s}\right] \\ &=\;\int_{0}^{t}E[H(u)d M(u)|\mathcal{F}_{s}] &&=\;\;Z(s)+\int_{s}^{t}E[H(u)d M(u)|\mathcal{F}_{s}] \end{align}\] $$

이전과 같이 conditioning 을 적용. 단 이번에는 conditional quantity 쪽에. 먼저 conditional expectation 을 고려. 조건부 기댓값을 반복하는 것으로 이하가 발생.

$$ \[\begin{align} E \Big [H(u)d M(u) \Big |\mathcal{F}_{s}\Big ] &=\;\;E \Bigg [E \Big [H(u)d M(u) \Big |\mathcal{F}_{s},\mathcal{F}_{u^{-}} \Big ] \Bigg |\mathcal{F}_{s} \Bigg ] \\ &=\;\;E \Bigg [E \Big [H(u)d M(u) \Big |\mathcal{F}_{u^{-}} \Big ] \Bigg |\mathcal{F}_{s} \Bigg ] \\ &=\;\;E \Bigg [H(u) \cdot E \Big [d M(u) \Big |\mathcal{F}_{u^{-}} \Big ] \Bigg |\mathcal{F}_{s} \Bigg ] &&= 0 \end{align}\] $$

따라서 $E[Z(t)]\mathcal{F}_{s}]\ \ =\ \ Z(s)$ 이며, 이인즉 $E[Z(t)-Z(s)|\mathcal F_{s}]=0$. 이를 통해 martingale 에 대해 적분한 stochastic integral 은 그자체로 martingale 임을 보일 수 있다.

9.3.3 Key Martingales Properties

위에서 martingale 의 핵심 성질이라고 말했던 (3) 을 increment 의 형식을 빌려 직접 표현하는 것이 가능.

천하쌍살단 살인시동 ㄱ

Self-Study